Question

3．已知圆M：x²+y²-2x=0及点A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圆M是三角形ABC的内切圆，求三角形ABC的面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析 由A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．

解答 解：设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+t}\\{y={k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，得C点的横坐标为${x}_{c}=\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=$\frac{1}{2}$|$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$|•6=$\frac{18}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，
由于圆M与AC相切，∴$\frac{|{k}_{1}+t|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}=1$，∴${k}_{1}=\frac{1-{t}^{2}}{2t}$；
同理，${k}_{2}=\frac{1-（t+6）^{2}}{2（t+6）}$，∴${k}_{1}-{k}_{2}=\frac{3（{t}^{2}+6t+1）}{{t}^{2}+6t}$，
∴S=$\frac{6（{t}^{2}+6t）}{{t}^{2}+6t+1}=6（1-\frac{1}{{t}^{2}+6t+1}）$，
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴${S}_{max}=6（1+\frac{1}{4}）=\frac{15}{2}$，${S}_{min}=6（1+\frac{1}{8}）=\frac{27}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力，是中档题．