Question

9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B-AC-D的平面角的余弦值$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 取AC的中点O，连结OB，OD，则∠BOD为所求二面角的平面角，求出OB，OD，在△OBD中使用余弦定理求出cos∠BOD．

解答 解：设菱形中心为O，连接OB，OD，
∵AB=BC=CD=AD=1，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD是正三角形，
∵O是AC的中点，∴OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
OB⊥AC，OD⊥AC，
∴∠BOD为二面角B-AC-D的平面角．
在△OBD中，由余弦定理得cos∠BOD=$\frac{O{B}^{2}+O{D}^{2}-B{D}^{2}}{2OB•OD}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二面角的定义与计算，作出二面角的平面角是关键，属于中档题．