Question

18．对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.41]=0，[7.28]=7，若n为正整数，a_n=[$\frac{n}{3}$]，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_3n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 利用n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，可得S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n，由此可得结论．

解答 解：∵n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，
∴n=3k，k∈N^*时，a_3k=k；n=3k+1，k∈N时，a_3k+1=k；n=3k+2，k∈N时，a_3k+2=k．
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=$3×\frac{[1+（n-1）]（n-1）}{2}+n=\frac{3{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{n}{2}$．

点评 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知去解决，是中档题．