Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，其前n项和是S_n对任意正整数n，S_n=n²a_n，求此数列的通项公式．

Answer 1

分析 由S_n=n²a_n，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．利用“累乘求积”方法即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×1
=$\frac{2}{n（n+1）}$，n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．