Question

8．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{-1}，x≤a}\\{{x}^{-2}，x＞a}\end{array}\right.$，其中a≠0，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （-∞，0）∪（0，2）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 对a进行讨论，作出f（x）的函数图象，根据f（x）=b有两个零点，判断是否符合题意．

解答 解：（1）当a＞0时，作出f（x）的函数图象如下：

由图象可知若a^-2＞a^-1，则当a^-1≤b＜a^-2时，函数g（x）=f（x）-b有两个零点，
∴a^-2＞a^-1，解得0＜a＜1．
若a^-2≤a^-1，不存在b使得函数g（x）=f（x）-b有两个零点．
（2）若a＜0，作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当b＞a^-2时，g（x）=f（x）-b有两个零点．
综上可得a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．
故选B．

点评 本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，属于中档题．