Question

20．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）
（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有两个零点，求a²+（b-17）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）去掉绝对值，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，又由f（x）在R上不单调，列出不等式组求解即可得答案；
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有两个零点，且$-\frac{2+a}{2}≥1$，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，再由线性规划可得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R），
得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，
若f（x）在R上不单调，
得$-\frac{2+a}{2}＞0$或$\frac{2-a}{2}＜0$，
实数a的取值范围为：a＜-2或a＞2；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2+a）x+2a+b，x≥0}\\{-{x}^{2}+（2-a）x+2a+b，x≤0}\end{array}\right.$，
若a≤-4且y=f（x）在[-1，1]上有两个零点，且$-\frac{2+a}{2}≥1$，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+b-3≤0}\\{2a+b＞0}\\{3a+b+3≤0}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，
a²+（b-17）²的几何意义为定点（0，17）
与可行域内动点距离的平方，
由$\frac{|3×0+1×17+3|}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$，
得a²+（b-17）²的最小值为$（2\sqrt{10}）^{2}$=40．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了函数零点的判定以及简单线性规划知识，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．