Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n-3×5^-n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n=S_n-S_n-1求出通项公式，再验证n=1即可；
（2）将T_n分成等差数列的前n项和与等比数列的前n项和，利用求和公式计算．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
经检验，当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n．
（2）T_n=2-$\frac{3}{5}$+4-$\frac{3}{{5}^{2}}$+6-$\frac{3}{{5}^{3}}$+…+2n-$\frac{3}{{5}^{n}}$
=（2+4+6+…+2n）-（$\frac{3}{5}+\frac{3}{{5}^{2}}+\frac{3}{{5}^{3}}$+…+$\frac{3}{{5}^{n}}$）
=$\frac{2+2n}{2}•n$-$\frac{\frac{3}{5}[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$
=n（n+1）-$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{5}^{n}}$）．

点评 本题考查了通项公式的求法，等差数列，等比数列的前n项和公式，属于中档题．