Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AC=AA₁=1，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面B₁C₁CB；
（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用直三棱柱的性质可得CC₁⊥AD．再利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明AD⊥平面B₁C₁CB．
（2）利用直三棱柱的性质可得：AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，AA₁⊥AD．由A₁C=$\sqrt{2}$=A₁B，可得A₁D⊥BC，由（1）可得：AD⊥BC．因此∠ADA₁是二面角A₁-BC-A的平面角．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AD?底面ABC．
∴CC₁⊥AD．
∵AB=AC=1，D是BC的中点．
∴AD⊥BC．
又BC∩CC₁=C．
∴CC₁⊥平面B₁C₁CB．
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面ABC，AC，AB，AD?底面ABC．
∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，AA₁⊥AD．
∵A₁C=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又D是BC的中点，∴A₁D⊥BC，
由（1）可得：AD⊥BC．
∴∠ADA₁是二面角A₁-BC-A的平面角．
在等边三角形ABC中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ADA₁中，A₁D=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴cos∠ADA₁=$\frac{AD}{{A}_{1}D}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角、直角三角形的边角关系、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．