Question

3．已知三角形ABC中，$\overrightarrow{AB}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{AC}$=（x₂，y₂）．求三角形ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和三角形的面积公式化简计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{AC}$=（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=x₁x₂+y₁y₂=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA，
∵2S_△=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sinA，
∴4S_△²=|$\overrightarrow{AB}$|²•|$\overrightarrow{AC}$|²sin²A，|$\overrightarrow{AB}$|²•|$\overrightarrow{AC}$|²cos²A=（x₁x₂+y₁y₂）²，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²•|$\overrightarrow{AC}$|²=4S_△²+（x₁x₂+y₁y₂）²，
∵|$\overrightarrow{AB}$|²=x₁²+y₁²，|$\overrightarrow{AC}$|²=x₂²+y₂²，|
代入化简，得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$|x₁y₂+x₂y₁|．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和三角形的面积公式，以及同角的三角函数的关系，属于中档题．