Question

17．一个袋中装有8个乒乓球，其中6个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X为停止摸球时的摸球次数．
（1）若每次摸出乒乓球后不放回，则E（X）=$\frac{16}{7}$；
（2）若每次摸出乒乓球后放回，则D（X）=$\frac{183}{256}$．

Answer 1

分析 （1）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望EX．
（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的方差D（X）．

解答 解：（1）由题意知X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{6}{8}×\frac{2}{7}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{6}{8}×\frac{5}{7}×\frac{2}{6}$+$\frac{6}{8}×\frac{5}{7}×\frac{4}{6}$=$\frac{15}{28}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$

EX=$1×\frac{1}{4}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{15}{28}$=$\frac{16}{7}$．
故答案为：$\frac{16}{7}$．
（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{6}{8}×\frac{2}{8}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=3）=$\frac{6}{8}×\frac{6}{8}×\frac{2}{8}$+$\frac{6}{8}×\frac{6}{8}×\frac{6}{8}$=$\frac{9}{16}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{16}$

EX=$1×\frac{1}{4}$+2×$\frac{3}{16}$+3×$\frac{9}{16}$=$\frac{37}{16}$，
D（X）=（1-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{1}{4}$+（2-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{3}{16}$+（3-$\frac{37}{16}$）²×$\frac{9}{16}$=$\frac{183}{256}$．
故答案为：$\frac{183}{256}$．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．