Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，F（x）=2f（x）-x有2个零点，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 讨论x＞0时，函数F（x）的导数和单调区间、极值和最值，确定零点的个数为1，可得x≤0时，F（x）=2x²+（2a-1）x只有一个零点，解方程可得x=0，则2a-1≤0，即可得到所求a的范围．

解答 解：当x＞0时，F（x）=2f（x）-x=2ln（x+1）-x，
导数为F′（x）=$\frac{2}{x+1}$-1=$\frac{1-x}{1+x}$，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）递减．
可得x=1处F（x）取得极大值，且为最大值2ln2-1＞0，
由F（x）=2ln（x+1）-x过原点，则x＞0时，F（x）只有一个零点，
可得x≤0时，F（x）=2f（x）-x=2x²+（2a-1）x只有一个零点，
x=0显然成立；则2x+2a-1=0的根为0或正数．
则2a-1≤0，解得a≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的零点个数问题，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．