Question

19．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，右顶点为（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求G的方程；
（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²+c²，联立解出即可得出椭圆G的方程．
（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k²+2）x²+6kx-3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²+c²，
联立解得a=$\sqrt{3}$，c=1，b²=2．
所求椭圆G的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
 化简整理可得：（3k²+2）x²+6kx-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+2}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{3{k}^{2}+2}$．
设线段AB中点N的坐标为（x₀，y₀）．
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-3k}{3{k}^{2}+2}$，y₀=kx₀+1=$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$．
设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，
依题意可得：AB⊥MN．
①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；
②当k≠0时，有k_MN=-$\frac{1}{k}$，∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-m}$=$\frac{\frac{2}{3{k}^{2}+2}}{\frac{-3k}{3{k}^{2}+2}-m}$=$\frac{2}{-3k-m（3{k}^{2}+2）}$=-$\frac{1}{k}$，
从而m=-$\frac{k}{3{k}^{2}+2}$=-$\frac{1}{3k+\frac{2}{k}}$，
而$3k+\frac{2}{k}$≥2$\sqrt{6}$（k＞0），或$3k+\frac{2}{k}$≤-2$\sqrt{6}$（0＞k），
故$-\frac{\sqrt{6}}{12}$≤m＜0或0＜m≤$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
综上所述：实数m的取值范围是$[-\frac{\sqrt{6}}{12}，\frac{\sqrt{6}}{12}]$．
即点M的横坐标的横坐标的取值范围是$[-\frac{\sqrt{6}}{12}，\frac{\sqrt{6}}{12}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．