Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=$\sqrt{2}$，b=2，sinB+cosB=$\sqrt{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin$（B+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，可得sin$（B+\frac{π}{4}）$=1，即可解得B．再利用正弦定理即可得出．
（2）利用sinC=sin（B+A），及其S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$，即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin$（B+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，∴sin$（B+\frac{π}{4}）$=1，又B∈（0，π），∴B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得B=$\frac{π}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{4}}$，解得sinA=$\frac{1}{2}$，∵a＜b，∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．