Question

18．已知圆C过点O（0，0），和点T（1，3），且圆心在直线n：x-2y=0上，直线l：x+my-2m-1=0，m∈R，
（1）若直线n与直线l平行，求这两条平行线间的距离；
（2）求圆C的方程；
（3）设直线l恒过定点A，求点A的坐标并判断点A与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）求出m，利用两条平行线间的距离公式，求这两条平行线间的距离；
（2）设圆心坐标为（2a，a），利用两点间的距离公式，建立方程，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（3）直线l：x+my-2m-1=0，即m（y-2）+（x-1）=0，可得直线l恒过定点A的坐标，再判断点A与圆C的位置关系．

解答 解：（1）由题意，m=-2，直线l：x-2y+3=0，
∴两条平行线间的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（2）设圆心坐标为（2a，a），
则4a²+a²=（2a-1）²+（a-3）²，∴a=1，r=$\sqrt{5}$，
∴圆C的方程（x-2）²+（y-1）²=5；
（3）直线l：x+my-2m-1=0，即m（y-2）+（x-1）=0，∴直线l恒过定点A（1，2），
∵（1-2）²+（2-1）²＜5，
∴A在圆C的内部．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．