Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（3）解不等式f（x²-x+2）＜f（4）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，可得f（0）=0，由此求得a的值．
（2）根据函数的导数区间（1，+∞）上小于零，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
（3）利用函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，且x²-x+2＞1，f（x²-x+2）＜f（4），可得x²-x+2＞4，由此求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是奇函数，故有f（0）=$\frac{a}{1}$=0，∴a=0．
（2）证明：∵y=f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
∵当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
（3）由′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
可得函数f（x）的增区间为（-1，1），减区间为（1，+∞）、（-∞，-1）
∵x²-x+2=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{π}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
故由不等式f（x²-x+2）＜f（4），可得x²-x+2＞4，求得x＜-1，或x＞2，
故不等式的解集为{x|x＜-1，或 x＞2}．

点评 本题主要考查奇函数的性质，函数的导数与函数的单调性的关系，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．