Question

15．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a_n²=2S_n-a_n（n∈N₊）
（1）证明：数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n，是否存在整数λ（λ≠0），使b_n+1＞b_n对一切n∈N₊恒成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，可得a_n-a_n-1=1，即可得出．
（2）由b_n+1＞b_n，化为${（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}＞{（{-1}）^{n-1}}λ$，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵${a_n}^2=2{S_n}-{a_n}$，${a_{n-1}}^2=2{S_{n-1}}-{a_{n-1}}（{n≥2}）$，
∴${a_n}^2-{a_{n-1}}^2-（{{a_n}+{a_{n-1}}}）=0$，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，∴{a_n}是等差数列，a_n=n．
（2）∵b_n+1＞b_n，∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
化为2×3ⁿ＞（-1）^n-1λ•3×2ⁿ，
∴${（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}＞{（{-1}）^{n-1}}λ$，
∴n为奇数时，λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，由于f（n）=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$单调递增，∴λ＜1．
n为偶数时，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，由于g（n）=-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$单调递减，∴λ＞-$\frac{3}{2}$．．
∴$-\frac{3}{2}＜λ＜1$，由于λ为整数，∴λ=-1．

点评 本题考查了递推关系、不等式解法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．