Question

9．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）求广告费支出x与销售额y回归直线方程$\hat y$=bx+a（a，b∈R）；
已知b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．

Answer 1

分析 （1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．
（2）分别求出在已有的五组数据中任意抽取两组的情况总数，及至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：（1）由题意得$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$，$\overline{y}=\frac{30+40+50+60+70}{5}=50$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n•\bar x•\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n•{{\bar x}^2}}}=\frac{60+160+300+300+560-5×5×50}{4+16+25+36+64-5×25}=\frac{130}{20}=\frac{13}{2}$，
$a=\bar y-b\overline{x}=25-\frac{13}{2}×5=\frac{35}{2}$，
所求回归直线方程为$\hat y=\frac{13}{2}x+\frac{35}{2}$；
（2）基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），
（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：（60，50）
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为${P}=1-\frac{C_2^2}{C_5^2}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$．

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目，解此类题，关键是理解线性回归分析意义．