Question

10．设函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x³．则函数g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上的所有零点的和为（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），∴f（x）关于x=1对称，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，
∵f（x）=f（2-x）=f（x-2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，
∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．
作出y=|cos（πx）|和y=x³在[0，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{2}$，1）上各有1个零点．
又g（1）=0，∴g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有7个零点，
设这7个零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…x₆，x₇．
则x₁，x₂关于x=0对称，x₃，x₅关于x=1对称，x₄=1，x₆，x₇关于x=2对称．
∴x₁+x₂=0，x₃+x₅=2，x₆+x₇=4，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=7．
故选：A．

点评 本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于中档题．