Question

10．某大学自主招生面试时将20名学生平均分成甲，乙两组，其中甲组有4名女学生，乙组有6名女学生．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名学生进行第一轮面试．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名学生中恰有2名男学生的概率．

Answer 1

分析 （1）先根据分层抽样的规则，求出每组应抽取2名学生．
（II）从甲组抽取的学生中恰有1名女生的事件应该是甲组一名女生，已组一名男生．
（III）本事件可以按从甲组中抽取的男人数进行分类：第一类是甲组两男乙组两女；第二类是甲组一男一女乙组一男一女；第三类是甲组二女乙组两男，

解答 解：（ I）由于甲、乙两组各有10名学生，
根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名学生进行面试，则从每组各抽取2名学生．
（ II）记A表示事件：从甲组抽取的学生中恰有1名女学生，则$P（A）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$；
（ III）A_i表示事件：从甲组抽取的2名学生中恰有i名男学生，i=0，1，2，B_j表示事件：
从乙组抽取的2名学生中恰有j名男学生，j=0，1，2，
B表示事件：抽取的4名学生中恰有2名男学生．A_i与B_j独立，i，j=0，1，2，
且B=A₀•B₂+A₁•B₁+A₂•B₀；
故P（B）=P（A₀•B₂+A₁•B₁+A₂•B₀）
=P（A₀）•P（B₂）+P（A₁）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=$\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}+\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}+\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_6^2}{{C{\;}_{10}^2}}$=$\frac{93}{225}$．
即 P（B）=$\frac{93}{225}$．

点评 本题考查分层抽样以及古典概型的应用，是基本知识的考查．