Question

过抛物线C：x²＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．

Answer 1

　(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，

∴1＋＝2，∴p＝2，

∴抛物线C的方程为x²＝4y.

(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，

设点A、B、M的坐标分别为(x₁，)、(x₂，)、(x₀，)，

由方程组消去y得，x²＝4(2x＋1)，

即x²－8x－4＝0，

由韦达定理得x₁＋x₂＝8，x₁x₂＝－4.

∴(x₁－x₀)(x₂－x₀)＋(x₁－x₀)(x₂－x₀)(x₁＋x₀)(x₂＋x₀)＝0.

∵M不与A，B重合，∴(x₁－x₀)(x₂－x₀)≠0，

∴1＋(x₁＋x₀)(x₂＋x₀)＝0，x₁x₂＋(x₁＋x₂)x₀＋x＋16＝0，

∴x＋8x₀＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.

∴方程x＋8x₀＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.