Question

19．已知点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$过点P的直线与圆x²+y²=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A． 8
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $6\sqrt{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 不等式$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4），利用直线与圆的位置关系，确定点P的位置，进行即可即可．

解答 解：不等式$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ y≥x\\ x≥2\end{array}\right.$对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）
过点P的直线l与圆x²+y²=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心到过P的直线的距离最大，
当点P在E处时，满足条件，此时OE⊥AB，
此时|OE|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，
∴|AB|=2|BE|=2$\sqrt{36-20}$=8，
故选A．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用直线和圆相交，根据弦长公式确定点P的位置是解决本题的关键，综合性较强．