Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为M（0，1），F₁，F₂为其两焦点，△MF₁F₂的周长为2

5

+4；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以M（0，1）为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三角形MAB，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个，并求出直角边所在的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

b=1 a2-c2=b2 2a+2c=2 5 +4

，同此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在等腰直角三角形MAB，设MA所在直线的方程是y=kx+1（k＞0），则MB所在直线的方程是y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+5y2=5

，得A（-

10k

1+5k2

，-

10k2

1+5k2

+1），由此入手能求出直角边所在直线的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为M（0，1），
F₁，F₂为其两焦点，△MF₁F₂的周长为2

5

+4，
∴

b=1 a2-c2=b2 2a+2c=2 5 +4

，解得

a= 5 b=1 c=2

．
∴椭圆C的方程是

x2

5

+y2=1．（4分）
（2）假设存在等腰直角三角形MAB，
由题知直角边MA，MB不可能平行或垂直x轴．
∴设MA所在直线的方程是y=kx+1（k＞0），
则MB所在直线的方程是y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+5y2=5

，
得A（-

10k

1+5k2

，-

10k2

1+5k2

+1），
∴|MA|=

(- 10k 1+5k2 )2+(- 10k2 1+5k2 )2

=

10k 1+k2

1+5k2

．
用-

1

k

替换上式中的k再取绝对值，得|MB|=

10 1+k2

5+k2

，
由|MA|=|MB|，得k（5+k²）=1+5k²，
解得k=1或k=2±

3

．
∴存在三个内接等腰直角三角形MAB．
直角边所在直线的方程是y=x+1、y=-x+1，或y=(2+

3

)x+1、y=(-2+

3

)x+1，
或y=(2-

3

)x+1、y=-(2+

3

)x+1．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的等腰直角三角形是否存在的判断与直角边所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．