Question

设a=

∫

π 0

（cosx-sinx）dx，则二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中的x³项的系数为

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出k的值，问题得以解决．

解答： 解：∵a=

∫

π 0

（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）

|

π 0

=-2，
∴（x²+

a

x

）⁶=(x2-

2

x

)6
∵Tk+1

=C

k 6

(x2)6-k•(-

2

x

)k=(-1)k•2k•

C

k 6

•x^12-3k
∴12-3k=3
解得，k=3
∴(-1)k•2k•

C

k 6

=(-1)3•23•

C

3 6

=-160．
故答案为：-160．

点评：本题主要考查了微积分基本定理和二项式的通项公式，培养了学生的计算能力．