Question

以（0，m）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A₁，其所有元素和为a₁；以（0，m²）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m²为分母组成不属于集合A₁的分数集合A₂，其所有元素和为a₂；…，依此类推以（0，mⁿ）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以mⁿ为分母组成不属于A₁，A₂，…，A_n-1的分数集合A_n，其所有元素和为a_n；则
（1）a₁=

 

；
（2）a₁+a₂+…+a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意写出即可；
（2）写出a₂，a₃总结规律即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

，
（2）又a₂=

1

m2

+

2

m2

+…+

m-1

m2

+

m+1

m2

+…+

2m-1

m2

+

2m+1

m2

+…+

m2-1

m2

=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-（

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

）=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-a₁，
a₃=

1

m3

+

2

m3

+…+

m3-1

m3

-a₁-a₂，
a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

-a₁-a₂-…-a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

=

1

mn

（1+2+…+mⁿ-1）=

mn-1

2

．
故答案为（1）

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

，（2）

mn-1

2

．

点评：本题考查学生新概念题的阅读能力及归纳思想的运用能力，考查学生分析问题，解决问题的能力，属中档题．