Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）记，当时，若对任意式，总有成立，试求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函数；在上是减函数（2）（3）的最大值为

【解析】

（1）求得的定义域和导函数，由此求得的单调区间.

（2）求得的导函数，对分成，，三种情况，结合在区间上的单调性和最大值，求得的值.

（3）首先求得的的表达式，利用的导函数判断出当时，为减函数，由此将不等式转化为，构造函数，在上为减函数，由的导函数分离常数，得到，结合基本不等式，求得的最大值.

（1）的定义域是，，

令，则（舍去），

当时，，故在上是增函数；

当时，，故在上是减函数.

（2）∵，则，

①当时，在上是增函数，

故在上的最大值为，显然不合题意：

②若即时，，则在上是增函数，

故在上的最大值为，不合超意，舍去；

③若即时，则在上是增函数，在上是减函数，

故在在上的最大值为，解得，符合，

综合①②③得.

（3），则，

当时，，故时，在上是减函数，

不妨设，则，

故等价于，

即，记，从而在上为减函数，

由，得，故恒成立，

∵，又在上单调递减

∴，∴，∴.

故时，的最大值为.