Question

16．已知函数$f（x）=4sin（x-\frac{π}{3}）cosx+\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}]$上的最大值和最小值及取得最大、最小值时对应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得该函数的周期．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}]$上的最大值和最小值及取得最大、最小值时对应的x值．

解答 解：（1）∵$f（x）=4cosx（\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）+\sqrt{3}=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$
=$sin2x-\sqrt{3}cos2x$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
故该函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
则当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{3}$时，函数取得最大值$\sqrt{3}$；
当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{π}{12}$时，函数取得最小值-2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．