Question

已知向量

a

=（2sinx，

3

cosx），

b

=（sinx，2sinx），函数f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算可得f（x）=1+2sin（2x-

π

6

），由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得单调递增区间；
（2）由x的范围，可得2x-

π

6

的范围，进而可得sin（2x-

π

6

）的范围，可得函数的值域．

解答：解：（1）由题意可得f（x）=

a

•

b

=2sinx•sinx+

3

cosx•2sinx
=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x
=1+2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（2）由（1）知f（x）=1+2sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=1+2sin（2x-

π

6

）∈[0，3]
故函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为：[0，3]

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的运算和正弦函数的单调性．