Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合辅助角公式化简可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，结合正弦函数的图象与性质，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因为x∈[

π

4

，

3π

4

]，所以2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，再根据正弦函数的单调性即可得到函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
由此可得：函数的最小正周期是

2π

2

=π，最大值是

2

+1；
（2）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

结合正弦函数的图象，可得sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1的最大值为f（

π

4

）=2，
最小值是为f（

5π

8

）=1-

2

．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的单调增区间与最值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．