Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），定义函数f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）当x∈[-

7π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过二倍角两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）当x∈[-

7π

12

，

5π

12

]时，求出-π≤2x+

π

6

≤π，推出-

π

3

≤x≤

π

6

函数单调递增，然后求得函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
∴函数的周期T=

2π

|ω|

=π．令2x+

π

6

=kπ得x=-

π

12

+

kπ

2

  （k∈Z）．
所以函数的对称中心为（-

π

12

+

kπ

2

，0） （k∈Z）．
（2）当x∈[-

7π

12

，

5π

12

]时-π≤2x+

π

6

≤π，
∴当-

π

2

≤2x+

π

6

≤

π

2

即-

π

3

≤x≤

π

6

时，函数f（x）单调递增，
故函数f（x）的单调增区间为：[-

π

3

，

π

6

]．

点评：本题主要考查了三角函数的化简以及对称性的应用，两角和公式的化简求值．函数单调区间的求法，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．