Question

已知椭圆的中心在原点．离心率为

1

2

，一个焦点F（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上一点，过F，Q的直线l与y轴交于点M，若|

MQ|

|=2|

QF

|，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）由题意，得

c a = 1 2 c=1

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由|

MQ|

|=2|

QF

|，知

MQ

=2

QF

，或

MQ

=2

FQ

，当

MQ

=2

QF

时，xQ=-

2

3

，yQ=

k

3

，能求出k=±2

6

．当

MQ

=2

FQ

时，x_Q=-2，y_Q=0，此时k=0．由此能求出直线l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
由题意，得

c a = 1 2 c=1

，解得a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵|

MQ|

|=2|

QF

|，∴

MQ

=2

QF

，或

MQ

=2

FQ

，
当

MQ

=2

QF

时，点Q分

MF

的比为2，
∴xQ=-

2

3

，yQ=

k

3

，
又点Q在椭圆上，
代入椭圆方程，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

3

=1，解得k=±2

6

．
当

MQ

=2

FQ

时，x_Q=-2，y_Q=0，此时k=0．
∴直线l的斜率为±2

6

或0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．