Question

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为

2

2

，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过原点O，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由离心率e=

2

2

及c²=a²-b²，得b=

2

2

a，再由2ab=2

2

可求a，b；
（Ⅱ）联立 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意，得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由韦达定理代入可求m；

解答： 解：（Ⅰ）由离心率e=

2

2

，得c=

2

2

a．
∵c²=a²-b²，∴b=

2

2

a．
又因为2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ） 联立 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．
由△=4m4-4(1+

m2

2

)(2m2-2)＞0，得-

2

＜m＜

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-2m2

1+ m2 2

，x1x2=

2m2-2

1+ m2 2

，
由题意，得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（

m

2

x1+m）（

m

2

x2+m）=0，即（1+

m2

4

）x₁x₂+

m2

2

(x1+x2)+m²=0，
∴（1+

m2

4

）•

2m2-2

1+ m2 2

+

m2

2

•

-2m2

1+ m2 2

+m2=0．
解之，得m=±

2 5

5

，满足△＞0，∴m=±

2 5

5

．

点评：该题考查椭圆的方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理、判别式是该类题目常用知识，要熟练掌握．