Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右顶点M的坐标为（2，0），直线l过左焦点F交椭圆于A，B两点，直线MA，MB分别交直线x=-4于C，D两点．
（1）求椭圆方程；
（2）当l⊥x轴时，求证：CF⊥DF；
（3）求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

c a = 1 2 a=2

，由此能求出椭圆方程．
（2）直线l过左焦点F（-1，0）交椭圆于A，B两点，l⊥x轴，直线l的方程为x=-1，由此能求出A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），C（-4，3），D（-4，-3）．从而能证明CF⊥DF．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：x=my-1，代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用已知条件能证明以线段CD为直径的圆过x轴上的两个定点（-1，0）和（-7，0）．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右顶点M的坐标为（2，0），
∴

c a = 1 2 a=2

，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：∵直线l过左焦点F（-1，0）交椭圆于A，B两点，l⊥x轴，
∴直线l的方程为x=-1，
联立

x=-1 x2 4 + y2 3 =1

，得A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），
∴直线MA：x+2y-2=0，联立

x=-4 x+2y-2=0

，得C（-4，3），
直线MB：x-2y-2=0，联立

x=-4 x-2y-2=0

，得D（-4，-3）．
∴

CF

=(3，-3)，

DF

=(3，3)，∴

CF

•

DF

=0，
∴CF⊥DF．
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：x=my-1，
代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，整理，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴

y1+y2= 6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
∵MC：y=

y1

x1-2

(x-2)，∴yC=

-6y1

x1-2

，
∵MD：y=

y2

x2-2

(x-2)，∴yD=

-6y2

x2-2

，
∴yCyD=

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

36y1y2

(my1-3)(my2-3)

=

36y1y2

m2y1y2-3m(y1+y2)+9

=

36• -9 3m2+4

m2• -9 3m2+4 -3m• 6m 3m2+4 +9

=-9，
设CD与x轴交于点N，以线段CD为直径的圆与x轴交于点P，Q，
则NP²=NQ²=NC•ND=|y_Cy_D|=9，NP=NQ=3，
∵N（-4，0），∴点P，Q的坐标为（-1，0），（-7，0），
∴以线段CD为直径的圆过x轴上的两个定点（-1，0）和（-7，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段垂直的证明，考查以线段为直径的圆恒过两个定点，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．