Question

已知椭圆的中心为坐标原点，长轴在x轴上，其左、右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆的左焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为

2 6

3

，该椭圆的离心率为

6

3

，点P为椭圆上的一点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若∠F₁PF₂=

π

4

，求三角形F₁PF₂的面积．
（3）若∠F₁PF₂为锐角，求P点的纵坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知条件得

2b2

a

=

2 6

3

，

c

a

=

6

3

，由此能求出椭圆的方程．（2）记|F₁P|=m，|F₂P|=n，由椭圆的定义得m+n=2

6

由余弦定理，得m2+n2-2mncos

π

4

=42，由此能求出三角形F₁PF₂的面积．
（3）设P点的坐标为（x₀，y₀），由F₁（-2，0），F₂（2，0），知

F1P

=(x0，

F2P

=(x0，由此能求出P点的纵坐标的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意得

2b2

a

=

2 6

3

，

c

a

=

6

3

，
解得a²=6，b²=2，
故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．（3分）
（2）记|F₁P|=m，|F₂P|=n，
由椭圆的定义得m+n=2

6

，①
在△F₁PF₂中，由余弦定理，得m2+n2-2mncos

π

4

=42，②
将①平方后与②作差，得mn=8-4

2

，
∴S△F1F2P=

1

2

mnsin

π

4

=2

2

-2．（8分）
（3）设P点的坐标为（x₀，y₀），
由F₁（-2，0），F₂（2，0），知

F1P

=(x0，

F2P

=(x0，
由∠F₁PF₂为锐角，得

F2P

•

F1P

＞0，即

x

2 0

+

y

2 0

-4＞0，
又点P在椭圆上，故

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，消去x₀得

y

2 0

＜1，
故所求P点纵坐标的取值范围是-1＜y₀＜1且y₀≠0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．