Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）若M（m，n）为圆C上任意一点，求

n+2

m-1

的最大值与最小值；
（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，当切线的斜率为-1时，设切线方程为：x+y+b=0，由相切可得方程，解出即可；
（2）设k=

n+2

m-1

，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，-2）是定点，可知直线MA与圆有公共点，从而可得

|-2k-2-2|

1+k2

≤

2

，解出即可；
（3）由两点间距离公式及切线长公式，可把|PM|=|PO|化为（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，化简可得x=2y-

3

2

，从而PM|=|PO|=

x2+y2

，可化为关于y的函数，借助二次函数的性质可求；

解答： 解：圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2，
（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；
当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：

|-k-2|

1+k2

=

2

，得k=2±

6

；
当切线的斜率为-1时，设切线方程为：y+x+b=0，由相切得：

|-1+2+b|

2

=

2

，得b=1或b=-3；
故所求切线方程为：y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x；或x+y+1=0，或x+y-3=0．
（2）设k=

n+2

m-1

，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，-2）是定点，
∵M（m，n）在圆C，∴圆C与直线MA有公共点，
而直线MA的方程为：y+2=k（x-1），
则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径即：

|-2k-2-2|

1+k2

≤

2

，解得：-7≤k≤-1，
∴

n+2

m-1

的最大值为-1，最小值为-7．
（3）由圆的切线长公式可得|PM|²=|PC|²-R²=（x+1）²+（y-2）²-2，
由|PM|=|PO|得，（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，即2x-4y+3=0，即x=2y-

3

2

，
此时|PM|=|PO|=

x2+y2

=

(2y- 3 2 )2+y2

=

5y2-6y+ 9 4

=

5(y- 3 5 )2+ 9 20

，
∴当y=

3

5

即P（-

3

10

，

3

5

）时，|PM|最小．

点评：该题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查转化思想．