Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求二面角D-AC-E的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角D-AC-E的余弦值；
（2）根据线面平行的判定定理，设

PF

=λ

PC

，λ∈[0，1]，建立条件关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别
为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（1，1，0），E（0，

2

3

，

1

3

），
∴

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
∵PA⊥平面ABCD
∴

AP

为平面ABCD的法向量，

AP

=（0，0，1），
设平面ACE的一个法向量为

n

=（a，b，c），
得

n • AC =a+b=0 n • AE = 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=2，则b=-1，a=1，
∴

n

=（1，-1，2），
则cos＜

AP

，

n

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

6

3

，
即所求二面角的余弦值为

6

3

．
（2）设

PF

=λ

PC

，λ∈[0，1]，
则

PF

=λ

PC

=（λ，λ，-λ），
∵B（1，0，0），P（0，0，1），
∴

BP

=（-1，0，1），

BF

=

BP

+

PF

=（λ-1，λ，1-λ），
若EF∥平面ACE，则

BF

⊥

n

，
即

BF

•

n

=0，则（λ-1，λ，1-λ）•（1，-1，2）=0，
解得λ=

1

2

，
即存在满足题意的点，当F是棱PC的中点时，EF∥平面ACE．

点评：本题主要考查二面角的求解，以及线面平行的应用，建立空间直角坐标系，利用空间向量法是解决本题的关键．