Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：利用单调性定义进行判断，设x₁＜x₂，则利用f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），可得f（x₂）＞f（x₁），即可得到结论．

解答： 解：设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查用定义法研究函数的单调性．正确运用定义是关键．