Question

如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD．
（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）当二面角G-EF-D的大小为

π

4

时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）F是PD的中点时，推导出AB∥平面EFG，从而得到平面PAB∥平面EFG，由此能证明AP∥平面EFG．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出FG与平面PBC所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，
∴AB∥平面EFG，
PB∥平面EFG，AB∩PB=B，
∴平面PAB∥平面EFG，AP?平面PAB，
∴AP∥平面EFG．…（6分）
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则有G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
设F（0，0，a），∴

GF

=(-1，-2，a)，

GE

=(-1，-1，1)，
设平面EFG的法向量

n

=(x，y，z)，
则有

-x-2y+az=0 -x-y+z=0

，取z=1，得

n

=(2-a，a-1，1)．
又平面EFD的法向量

m

=(1，0，0)，
∵二面角G-EF-D的大小为

π

4

时，
∴cos＜

n

，

m

＞=

2-a

(2-a)2+(a-1)2+1

=

2

2

，
解得a=1，∴

GF

=(-1，-2，1)，
设平面PBC的法向量

p

=(m，n，q)，
∵

PC

=(0，2，-2)，

BC

=(-2，0，0)，
则有

2n-2q=0 -2m=0

，取q=1，得

p

=(0，1，1)．
设FG与平面PBC所成角为θ，
则有sinθ=|cos＜

GF

，

p

＞|=

1

6 • 2

=

3

6

，
∴cosθ=

1-( 3 6 )2

=

33

6

．
∴FG与平面PBC所成角的余弦值为

33

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．