Question

在△ABC中，∠BAC=60°，P是△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=90°．
（1）求证：PB⊥平面PAC；
（2）若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：

分析：（1）先证明出PB⊥PA，PB⊥PC，根据线面垂直的判定定理证明出PB⊥平面PAC．
（2）作AC的中点D，BC的中点E，连接BD，PD，AE，PE，AE交BD于H，先分别证明出AC⊥面PBD，BC⊥面PAE，进而证明出AC⊥PH，BC⊥PH，最后根据线面垂直的判定定理证明出PH⊥平面ABC．

解答： （1）证明：∵∠APB=∠APC=90°，
∴PB⊥PA，PB⊥PC，
∵PB?平面PAC，PC?平面PAC，PB∩PC=P，
∴PB⊥平面PAC
（2）作AC的中点D，BC的中点E，连接BD，PD，AE，PE，AE交BD于H，
∵PA=PC，
∴PD⊥AC，
∵PB⊥平面PAC，AC?平面PAC，
∴PB⊥AC，
∵PB?平面PBD，PD?平面PBD，PB∩PD=P，
∴AC⊥平面平面PBD，
∴AC⊥PH，
同理可证BC⊥PH，
∵AC?平面ABC，BC?平面ABC，AC∩BC=C，
∴PH⊥平面ABC．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．解第二问的最重要的一步是作出H点．