Question

如图，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与△ABC的外接圆交于点P，交BC的延长线于点D，
（Ⅰ）求证：∠ABP=∠D；
（Ⅱ）若AC=3，AP=2，求点D到△ABC的外接圆的切线长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明△ABD∽△APB，可得∠ABP=∠D；
（Ⅱ）利用∴△ABD∽△APB，可得AD=

9

2

，从而可求DP，利用切割线定理即可求出点D到△ABC的外接圆的切线长．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∠ACB=∠APB
∴∠ABC=∠APB
∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABP=∠D；
（Ⅱ）解：∵△ABD∽△APB，
∴

AB

AD

=

AP

AB

，
∴AB=AC=3，AP=2，
∴AD=

9

2

，
∴DP=AD-AP=

5

2

，
设DE与圆相切于点E，则DE²=DP•DA=

45

4

，
∴DE=

3 5

2

．

点评：此题主要考查的是切割线定理、考查相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．