Question

汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离．某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t³-k•t²+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．
（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）当k=8时，s=5t³-8t²+t+10，令瞬时速度即s′=0，可求t，再代入s可求；
（2）汽车静止时v=0，故问题转化为15t²-2kt+1=0在[1，2]内有解，2k=

15t2+1

t

=15t+

1

t

，令f(t)=15t+

1

t

，利用导数可求得f（t）的范围，从而可得k的范围；

解答： 解：（1）当k=8时，s=5t³-8t²+t+10，
这时汽车的瞬时速度为V=s′=15t²-16t+1，
令s′=0，解得t=1（舍）或t=

1

15

，
当t=

1

15

时，s=10

22

675

，
所以汽车的刹车距离是10

22

675

米．
（2）汽车的瞬时速度为v=s′，∴v=15t²-2kt+1，
汽车静止时v=0，
故问题转化为15t²-2kt+1=0在[1，2]内有解，
又2k=

15t2+1

t

=15t+

1

t

，
∵15t+

1

t

≥2

15

，当且仅当15t=

1

t

，t=

1 15

时取等号，
∵t=

1 15

∉[1，2]，∴记f(t)=15t+

1

t

，f′(t)=15-

1

t2

，
∵t∈[1，2]，∴f′(t)=15-

1

t2

＞0，∴f（t）单调递增，
∴f(t)∈[16，

61

2

]，2k∈[16，

61

2

]，即k∈[8，

61

4

]，
故k的取值范围为k∈[8，

61

4

]．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，在实际问题中构建恰当函数是解决问题的关键．