Question

如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，F为

BC

的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：OF∥平面ACD；
（2）在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由∠CAB=45°，知∠COB=90°，由F为

BC

的中点，知∠FOB=45°，从而得到OF∥AC，由此能证明OF∥平面ACD．
（2）存在，E为AD中点．由已条条件推导出OE⊥AD，AD⊥OC，从而得到AD⊥平面OCE，由此能求出在AD上是存在点E，E为AD中点，使得平面OCE⊥平面ACD．

解答： （1）证明：∵∠CAB=45°，∴∠COB=90°，
又∵F为

BC

的中点，∴∠FOB=45°，
∴OF∥AC，又AC?平面ACD，OF?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
（2）解：存在，E为AD中点，
∵OA=OD，∴OE⊥AD，
又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直，
∴OC⊥平面OAD，
又AD?平面OAD，∴AD⊥OC，
∴AD⊥平面OCE，
又AD?平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD．
∴在AD上是存在点E，E为AD中点，使得平面OCE⊥平面ACD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线上是否存在使平面与平面垂直的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．