Question

在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，

π

2

），B（2

2

，

π

4

）．
（Ⅰ）求经过O，A，B的圆C的极坐标方程
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C₂的参数方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是参数），若圆C₁与圆C₂相切，求实数a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）设（ρ，θ）是所求圆上的任意一点，则由OP=OBcos（θ-

π

4

），求出圆的极坐标方程；
（Ⅱ）圆C₁的普通方程是：（x-1）²+（y-1）²=2，圆C₂的普通方程为：（x+1）²+（y+1）²=a²．圆C₁与圆C₂相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．

解答： 解：（Ⅰ）设（ρ，θ）是所求圆上的任意一点，
则OP=OBcos（θ-

π

4

），
故所求的圆的极坐标方程为ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）；
（Ⅱ）圆C₁的方程为ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）的直角坐标方程为：（x-1）²+（y-1）²=2，
圆心C₁（1，1），半径r₁=

2

，
圆C₂的参数方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是参数）的普通方程为：（x+1）²+（y+1）²=a²．
圆心距C₁C₂=2

2

，
两圆外切时，C₁C₂=r₁+r₂=

2

+|a|=2

2

，a=±

2

； 
两圆内切时，C₁C₂=|r₁-r₂|=|

2

-|a||=2

2

，a=±3

2

．
综上，a=±

2

或a=±3

2

．

点评：本题主要考查求圆的极坐标方程的方法，考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用，属于基础题．