Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=

2

AB=2，且VA-PED=

1

3

时，确定点E的位置，即求出

PE

EB

的值．
（3）在（2）的条件下若F是PD的靠近P的一个三等分点，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AC⊥平面PDB，即可证明平面AEC⊥平面PDB；
（2）利用VA-PED=

1

3

，求出△PED的面积，再求出PE，EB，即可求出

PE

EB

的值．
（3）建立空间直角坐标系，求出面EFD的法向量、面AEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-EF-D的余弦值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形ABCD，∴AC⊥DB．

PD⊥面ABCD AC?面ABCD ⇒PD⊥AC

，
∵PD∩PB=P，

∴AC⊥面PDB ∵AC?面AEC ∴面AEC⊥面PDB

（2）解：设AC交BD=O，则

AO⊥BD AO⊥PD

⇒AO⊥面PDE，
∵AO=1，

VA-PED= 1 3 •AO•S△PDE= 1 3 ∴S△PDE=1

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=

2

，
∴Rt△PDB中斜边PB的高h=

2

．

∴ 1 2 •h•PE=1 ∴PE= 2 ∴ PE EB = 2 2 =1

即E为PB的中点．
（3）解：连接OE，以O为坐标原点，OC为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0）E（0，0，1）F（0，-1，

4

3

）   D（0，-1，0）
面EFD的法向量为

OA

=(1，0，0)
设

m

=(x，y，z)为面AEF的法向量．
∴

m • AE =0 m • EF =0

⇒

(x，y，z)•(-1，0，1)=0 (x，y，z)•(0，-1， 1 3 )=0

⇒

x=z 3y=z

令y=1，则

m

=(3，1，3)，
∴cosθ=

OA • m

| OA |•| m |

=

3

19

=

3 19

19

∴二面角A-EF-D的余弦值为

3 19

19

．

点评：本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．