Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为

40

3

．
（1）求证：EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）求A₁A的长；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）法一：连接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，可证四边形A₁BCD₁是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
法二：根据长方体的几何特征由平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．证得A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，利用等体积法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，进行求解．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，推出A₁P⊥C₁D，证明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求线段A₁P的长．

解答： 证明：（1）证法一：如图，连接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
证法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
解：（2）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，
∴V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1=

40

3

，
即S_ABCD×h-

1

3

×S△A₁B₁C₁×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．（7分）
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，
∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1
又∵PQ∥BC，
∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D₁Q=

5

，
∴A₁P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

点评：本题考查的知识点是线面平行，组合几何体的面积、体积问题，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．