Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的一条渐近线方程为3x+2y=0，点A为双曲线C的右顶点，圆O的方程为x²+y²=1．
（1）求a的值；
（2）点M为平面内一动点，过M引圆O的切线MN（N为切点），若

MN

MA

=

2

，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由双曲线

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的渐近线方程为3x±ay=0，结合已知条件求出a=2．
（2）由（1）知A（2，0），设M（x，y），N（cosθ，sinθ），0≤θ＜π，则（x-cosθ）²+（y-sinθ）²+1=x²+y²，由此根据已知条件得到

(x-cosθ)2+(y-sinθ)2

(x-2)2+y2

=

2

，从而得到

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=

2

，由此能求出动点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的渐近线方程为3x±ay=0，
由其中一条渐近线方程为3x+2y=0，
解得a=2．
（2）由（1）知双曲线方程为

x2

4

-

y2

9

=1，
∵点A为双曲线C的右顶点，∴A（2，0），
设M（x，y），∵圆O的方程为x²+y²=1，
∴N（cosθ，sinθ），0≤θ＜π，
则（x-cosθ）²+（y-sinθ）²+1=x²+y²，
解得（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=x²+y²-1，
∵

MN

MA

=

2

，∴

(x-cosθ)2+(y-sinθ)2

(x-2)2+y2

=

2

，
∴

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=

2

，
整理，得：x²+y²-8x+9=0．
∴动点M的轨迹方程为x²+y²-8x+9=0．

点评：本题考查抛物线中参数的求法，考查动点M的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．