Question

【题目】已知圆与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；

（1）求圆C2的方程；

（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且为．

【解析】试题分析：（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．圆C2过0，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）．直线C2O的方程为：y=x，即x﹣2y=0．利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出；（2）存在，且为P（3，4）．设直线OM的方程为：y=kx．代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．可得M的坐标．同理可得N的坐标．设P（x，y），线段MN的中点E，利用kPEk=﹣1即可得出．

详解：

（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．

∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．

直线C2O的方程为：y=x，即x﹣2y=0．

∵直线C2O与圆C1相切，∴=，解得a=﹣1，

∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=，化为：x2+y2+2x﹣4y=0．

（2）存在，且为P（3，4）．

设直线OM的方程为：y=kx．

代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．

xM=，yM=．

代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x=0．

xN=，yN=．

设P（x，y），线段MN的中点E．

则×k=﹣1，

化为：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，

令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．

∴P（3，4）与k无关系．

∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．