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【题目】已知圆与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O与圆C1相切;

(1)求圆C2的方程;

(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在求出定点坐标,若不存在,说明理由.

【答案】(1);(2)存在,且为

【解析】试题分析:(1)由(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,令x=0,解得y=0或4.圆C2过0,A两点,可设圆C2的圆心C1(a,2).直线C2O的方程为:y=x,即x﹣2y=0.利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出;(2)存在,且为P(3,4).设直线OM的方程为:y=kx.代入圆C2的方程可得:(1+k2)x2+(2﹣4k)x=0.可得M的坐标.同理可得N的坐标.设P(x,y),线段MN的中点E,利用kPEk=﹣1即可得出.

详解:

(1)由(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,令x=0,解得y=0或4.

圆C2过O,A两点,可设圆C2的圆心C1(a,2).

直线C2O的方程为:y=x,即x﹣2y=0.

直线C2O与圆C1相切,=,解得a=﹣1,

圆C2的方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=,化为:x2+y2+2x﹣4y=0.

(2)存在,且为P(3,4).

设直线OM的方程为:y=kx.

代入圆C2的方程可得:(1+k2)x2+(2﹣4k)x=0.

xM=,yM=

代入圆C1的方程可得:(1+k2)x2﹣(8+4k)x=0.

xN=,yN=

设P(x,y),线段MN的中点E

×k=﹣1,

化为:k(4﹣y)+(3﹣x)=0,

令4﹣y=3﹣x=0,解得x=3,y=4.

P(3,4)与k无关系.

在平面内是存在定点P(3,4)使得PM=PN始终成立.

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8

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未参加书法社团

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