【题目】已知圆与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O与圆C1相切;
(1)求圆C2的方程;
(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在求出定点坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,且为.
【解析】试题分析:(1)由(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,令x=0,解得y=0或4.圆C2过0,A两点,可设圆C2的圆心C1(a,2).直线C2O的方程为:y=x,即x﹣2y=0.利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出;(2)存在,且为P(3,4).设直线OM的方程为:y=kx.代入圆C2的方程可得:(1+k2)x2+(2﹣4k)x=0.可得M的坐标.同理可得N的坐标.设P(x,y),线段MN的中点E,利用kPEk=﹣1即可得出.
详解:
(1)由(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,令x=0,解得y=0或4.
∵圆C2过O,A两点,∴可设圆C2的圆心C1(a,2).
直线C2O的方程为:y=x,即x﹣2y=0.
∵直线C2O与圆C1相切,∴=,解得a=﹣1,
∴圆C2的方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=,化为:x2+y2+2x﹣4y=0.
(2)存在,且为P(3,4).
设直线OM的方程为:y=kx.
代入圆C2的方程可得:(1+k2)x2+(2﹣4k)x=0.
xM=,yM=.
代入圆C1的方程可得:(1+k2)x2﹣(8+4k)x=0.
xN=,yN=.
设P(x,y),线段MN的中点E.
则×k=﹣1,
化为:k(4﹣y)+(3﹣x)=0,
令4﹣y=3﹣x=0,解得x=3,y=4.
∴P(3,4)与k无关系.
∴在平面内是存在定点P(3,4)使得PM=PN始终成立.
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【题目】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
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【题目】已知以点为圆心的圆过点和,线段的垂直平分线交圆于点、,且,
(1)求直线的方程; (2)求圆的方程。
(3)设点在圆上,试探究使的面积为 8 的点共有几个?证明你的结论
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组: ,并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
(1)求证:B1D1∥平面A1BD;
(2)求证:MD⊥AC;
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【题目】某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | 8 | 5 |
未参加书法社团 | 2 | 30 |
(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学,3名女同学.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求被选中且未被选中的概率.
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