Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{sinx，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，-1}）$．
（1）求|${\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|的最大值；
（2）当$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线时，求2cos²x-sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，从而得到|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{sin2x+\frac{5}{4}}$，显然sin2x=1时，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|取到最大值$\frac{3}{2}$；
（2）根据向量共线时向量坐标的关系即可得到sinx=$-\frac{3}{2}cosx$，而根据sin²x+cos²x=1便能求出cos²x，这时候可求得2cos²x-sin2x=5cos²x，从而得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（sinx+cosx，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（sinx+cosx）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{sin2x+\frac{5}{4}}$；
∴sin2x=1时，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$取最大值$\frac{3}{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线；
∴$-sinx-\frac{3}{2}cosx=0$；
∴$sinx=-\frac{3}{2}cosx$；
∵sin²x+cos²x=1；
∴$\frac{13}{4}co{s}^{2}x=1$；
∴$co{s}^{2}x=\frac{4}{13}$；
∴2cos²x-sin2x=2cos²x-2sinxcosx=$2co{s}^{2}x+3co{s}^{2}x=5co{s}^{2}x=\frac{20}{13}$．

点评 考查向量加法的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的公式，以及共线向量的坐标的关系，二倍角的正弦公式．