Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若离心率为

5

3

，短轴一个端点到右焦点距离为3，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（3）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知

e= c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由已知条件得四边形OBPA是边长为b=2的正方形，从而|OP|=2

2

=

2

b，|OP|²=8=2b²≤9=a²，a²≤2c²，由此能求出椭圆离心率e的取值范围．
（3）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则PA方程为：x₁x+y₁y=4，PB方程为：x₂x+y₂y=4．直线AB方程为x₀x+y₀y=4．从而|ON|=|y|=

4

|y0|

，|OM|=|x|=

4

|x0|

，由此能证明

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值

9

4

．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

5

3

，
短轴一个端点到右焦点距离为3，
∴

e= c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

，解得a=3，c=

5

，b=2，
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）解：∵过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
∠APB=90°，
∴四边形OBPA是边长为b=2的正方形，
∴|OP|=2

2

=

2

b，
∴|OP|²=8=2b²≤9=a²，∴a²≤2c²，
∴e²≥

1

2

，∴椭圆离心率e的取值范围是：

2

2

≤e＜1．
（3）证明：设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

，
整理得x₀x+y₀y=x₁²+y₁²，∵x₁²+y₁²=4，
∴PA方程为：x₁x+y₁y=4，PB方程为：x₂x+y₂y=4．
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，∴

y2-y1

x2-x1

=-

x0

y0

，
直线AB方程为y-y₁=-

x0

y0

(x-x1)，即x₀x+y₀y=4．
令x=0，得|ON|=|y|=

4

|y0|

，令y=0，得|OM|=|x|=

4

|x0|

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

=

9

16 y02

+

4

16 x02

=

9y02

16

+

4x02

16

=

36

16

=

9

4

．
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值

9

4

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆离心率e的取值范围的求法，考查

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．