Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且AA₁⊥底面ABC，D为CC₁的中点，AB₁与A₁B相交于点O，连结OD．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作OE⊥AB，交AB于E，连结CE，由已知条件推导出OECD是长方体，由此能证明OD∥平面ABC．
（2）由ABB₁A₁是正方形，得A1B ⊥AB1，由已知条件推导出CE⊥平面AA₁B，从而OD⊥平面AA₁B，进而AB₁⊥DO，由此能证明AB₁⊥平面A₁BD．

解答： 证明：（1）作OE⊥AB，交AB于E，连结CE，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且AA₁⊥底面ABC，
D为CC₁的中点，AB₁与A₁B相交于点O，
∴O是A₁B的中点，E是AB中点，
∴OE

∥

.

CD，∴OECD是长方体，
∴OD∥CE，
∵OD不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴OD∥平面ABC．
（2）由题意知ABB₁A₁是正方形，∴A1B ⊥AB1，
由（1）知CE⊥AB，又AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴CE⊥AA₁，又AA₁∩AB=A，
∴CE⊥平面AA₁B，∵DO∥CE，∴OD⊥平面AA₁B，
又AB₁?平面AA₁B，∴AB₁⊥DO，
∵DO∩A₁B=O，∴AB₁⊥平面A₁BD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．