Question

设抛物线C：y²=4x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上．（A，B都不是顶点）
（1）求证：过点A的切线方程是y₁y=2（x+x₁）．
（2）设以A，B为切点的切线分别为l₁，l₂，H为l₁与l₂的交点，若AB经过焦点F．
①证明：l₁⊥l₂；
②证明：H点的轨迹是C的准线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设过点A的切线方程是y-y₁=k（x-x₁），代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由相切利用△=0能证明过点A的切线方程是y₁y=2（x+x₁）．
（2）由（1）可知，以B为切点的切线l₂的方程为y₂y=2（x+x₂）设H（x，y），由已知条件推导出x=

y1y2

4

，

FA

∥

FB

，从而得到y₁y₂=-4，x=-1，①又k₁k₂=

4

y1y2

=-1，由此能证明l₁⊥l₂．②由x=-1，能证明点H的轨迹是准线．

解答： （1）证明：设过点A的切线方程是y-y₁=k（x-x₁），
代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由题意知k≠0
∵相切，∴△=0，16=16k（y₁-kx₁），∴k₁=

2

y1

，
∴切线方程是y-y₁=

2

y1

（x-x₁）
整理，得y₁y=2（x+x₁）．
∴过点A的切线方程是y₁y=2（x+x₁）．…（4分）
（2）证明：由（1）可知，以B为切点的切线l₂的方程为y₂y=2（x+x₂）
设H（x，y），则

y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2)

，
∴

y2

y1

=

x2+x

x1+x

，
∴将x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，代入整理得x=

y1y2

4

，…（8分）
∵AB过点F（1，0），∴

FA

∥

FB

，
∴（x₁-1）y₂=（x₂-1）y₁，即y₁-y₂=x₂y₁-x₁y₂
∴y₁y₂=-4，∴x=-1，
①又k₁k₂=

4

y1y2

=-1，∴l₁⊥l₂．…（10分）
②∵x=-1，∴点H的轨迹是准线 …（12分）

点评：本题考查过点A的切线方程是y₁y=2（x+x₁）的证明，考查l₁⊥l₂的证明，考查H点的轨迹是C的准线的证明．解题时要注意函数与方程思想的合理运用．